등차수열 :: 기초부터 합 공식까지 다지기

 등차수열은 수열중 가장 기본이라 할 수 있는 수열입니다. '등차수열'이라는 용어를 들으면 뭔가 어려워보이지만, 알고나면

'뭐야,별거 아니었네' 생각이 들정도로 쉬운 수열입니다. 등차수열을 알아봅시다.

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■ 등차수열의 뜻

 (1) 등차수열 : 연속하는 두 항의 차이가 모두 일정한 수열

 (2) 공차 : 등차수열에서 차례로 더해지는 일정한 수

 

■ 등차수열의 일반항

 공차를 $d$라 하고, 첫째항은 $a_1$라 한다.

(1)등차수열의 성질 : $a_{n+1} - a_n  = d$ 

(2)일반항 

$a_1=a_1$

$a_2=a_1+d$

$a_3=a_1+2d$

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$a_n=a_1+(n-1)d$ → $a_n$의 일반항이다. (단, $n=1,2,3\cdots$)

 

■등차중항

 $a,b,c$가 등차수열을 이룰때, $2b = a+c$가 성립한다. ↔ $b = \frac{a+c}{c}$ : 등차중항

 $a_n,a_{n+1},a_{n+2}$가  등차수열을 이룰때, $2a_{n+1} = a_n + a_{n+2}$가 성립한다.

 

■등차수열의 합

 $S_n$을 등차수열의 합이라 한다. 이 때, $S_n = \frac{n\left\lbrace2a + (n-1)d\right\rbrace}{2} = \frac{n(a+l)}{2}$

유도:

 $a_1$           $a_2$         $a_3$        $\cdots$                   $a_{n-1}$              $a_n$

 ↓            ↓          ↓                                    ↓                  ↓   

$a$       $a + d$      $a + 2d$    $\cdots$    $a + (n-2)d$    $a + (n-1)d$

☆마주 보는 수의 합이 같다. 

 $2a + (n-1)d$ 또는 $a+l$이 $\frac{n}{2}$쌍 있다.

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 지금까지,  등차수열이 무엇인지 알아보았습니다. 그러면 이를 활용할 예제들을 몇 가지 봅시다.

▶ $a_1 = 20 , d=-2$ 의 일반항을 구하여라

첫째항이 $a_1$이고 등차가 $d$인 등차수열의 일반항은 $a_n = a_1 + (n-1)d$ 이다. 

문제의 조건을 대입하면 ∴$ a_n = 20 + (n-1)(-2) $ → $a_n = -2n +22$

     

 

▶ 등차수열 $3,5,7,9,\cdots $ 의 일반항을 구하여라.

위와 마찬가지로 일반항 구하는 문제이다.

문제는 첫째항이 3이고, 공차가 2이므로, ∴$a_n = 3 + (n-1)2$ → $a_n=2n+1$ 

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감사합니다.

등차수열. (2020년 2월 14일). 위키백과, . 15:15, 2020년 2월 22일에 확인 
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