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MATH♪

페르마의 소정리 :: 증명하기 페르마의 소정리는 합동식 관련 문제를 해결할 때, 자주 쓰이는 정리로 오일러 정리의 구체화라고 할 수 있습니다. 특히, 정수론에서 필수적인 정리입니다. ▶ 정의 $p$가 소수이고 $gcd(a,p) = 1$일 때, $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$ ★ 증명 원소 $(p-1)$개의 유한 집합 $ R = \{a,2a,\cdots,(p-1)a\}$를 정의합니다. (이를 $p$의 기약 잉여계라고도 합니다.) $a$와 $p$는 서로소이므로, 이 원소들은 $p$로 나눴을 때, 나머지는 $1$부터 $(p-1)$ 중에 있을 것입니다. 만약, 나머지가 $1$부터 $(p-1)$ 까지 일대일 대응이라면 $\left\{ a,2a,\cdots , (p-1)a \right\} = \left\{1,2,\cdots ,.. 더보기
집합에 대한 모든 것 (I) :: 정의, 표현방법, 포함관계 우리는 일상생활 속에서 조건에 의하여 그 대상을 명확하게 결정할 수 있는 것도 있고, 결정할 수 없는 것도 있다. 예를 들면, "공부를 많이 하는 학생의 모임" 은 어떤 학생이 공부를 많이 하는가에 대한 판단 기준이 그때의 상황이나 판단자의 생각에 따라 달라질 수 있으므로, 대상을 명확히 정할 수 없다. 반면에, "10 이하의 자연수의 모임" 은 구체적으로 조건을 제시함으로써, 1,2,3,···,10이 집합에 포함된다는 사실을 알 수 있다. 이처럼, 조건에 의하여 그 대상을 정확하게 결정할 수 있는 모임을 집합이라 한다. 그리고, 1,2,3,···,10 와 같이, 집합을 이루는 대상 을 집합의 원소라고 한다. $a$가 집합$S$의 원소일 때 $a$는 집합 $S$에 속한다고 말하고, $a\in S$로 나타.. 더보기
등차수열 :: 기초부터 합 공식까지 다지기 등차수열은 수열중 가장 기본이라 할 수 있는 수열입니다. '등차수열'이라는 용어를 들으면 뭔가 어려워보이지만, 알고나면 '뭐야,별거 아니었네' 생각이 들정도로 쉬운 수열입니다. 등차수열을 알아봅시다. ■ 등차수열의 뜻 (1) 등차수열 : 연속하는 두 항의 차이가 모두 일정한 수열 (2) 공차 : 등차수열에서 차례로 더해지는 일정한 수 ■ 등차수열의 일반항 공차를 $d$라 하고, 첫째항은 $a_1$라 한다. (1)등차수열의 성질 : $a_{n+1} - a_n = d$ (2)일반항 $a_1=a_1$ $a_2=a_1+d$ $a_3=a_1+2d$ . . . $a_n=a_1+(n-1)d$ → $a_n$의 일반항이다. (단, $n=1,2,3\cdots$) ■등차중항 $a,b,c$가 등차수열을 이룰때, $2b = a.. 더보기
수열의 합, 시그마(∑) :: 기본 공식까지 다지기 이번에 다뤄볼 주제는, 시그마($\sum$) :: 수열의 합입니다. 시그마를 잘 배워둔다면 앞으로 여러 가지 수열들의 합을 구할 때 흔히 말하는 하나하나 계산하는 과정 없이 공식만으로 아주 쉽고 편리하게 구할 수 있게 될 것입니다. 일단, 본론에 앞서, 처음 접하시는 분들은 시그마가 어려워 보이실 수 있는데, 절대 그렇지 않습니다! 잘 따라와 주세요. 시그마, 혹은 수열의 합의 정의: 수열 ${a_n}$의 첫째 항부터 제 $n$ 항까지의 합을 기호 $\sum$로 나타내고 합을 나타내는 영어의 Sum의 첫 글자 S에 해당하는 그리스 문자로, "시그마(sigma)"라고 읽는다. 표현: $a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n = \displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$ 정의로만 보기에는 아.. 더보기
인수분해 :: Factorization "인수분해"는 여러 항들의 합과 곱이 어지럽게 뒤섞여 있는 다항식을 알아보기 쉽게 정리하는 것으로 중, 고등학생이라면 학교에서 공부했을 것이다. 아직, 인수분해를 접해보지 못한 독자들을 위해 기초부터 들어가 보자. 예시로 $(x-2)(x-5)$을 전개하면 $(x-2)(x-5)$ = $x^2-7x+10 $ 이와 반대로 우변과 좌변을 서로 바꾸면 $x^2-7x+10 $ = $(x-2)(x-5)$ 이다. 이와 같이 하나의 다항식을 여러 개의 다항식의 곱의 꼴로 나타내는 것을 인수분해한다고 한다. 더욱더 깊게 들어가기 전, 인수분해 공식이 궁금한 사람들을 위해 공식을 적어 놓았다. 인수분해하는 법:: 인수분해를 하려면 먼저, 다항식의 공통인수를 찾아야 한다. 이를 테면, $x^2y$와 $xy^2$은 $xy$라는.. 더보기
비둘기집 원리 :: Pigeonhole Principle 도입에 앞서, 한 예제를 볼까요? 런던의 모든 시민들은 그들의 머리카락 수가 런던 전체 시민수보다 적다고 한다. 런던 시민들 중 대머리가 없다고 가정할 때, 머리카락 수가 같은 시민이 적어도 두 사람 있음을 보여라. 와우.. 이러한 예제들은 증명하기에 어려움이 많아 보입니다. 한명한명 세보면서 비교 해보면 어떨까요? 런던 시민수가 한 두명도 아니고.. 거기에다가 머리카락수까지 셀려니 앞길이 깜깜해보입니다.. 이럴 때 증명을 도와줄 비둘기집 원리, 이렇게 어려운 예제도 간단히 풀어준다니.. 참 대단한 원리인 거 같죠? 점점 알고 싶어지는 비둘기집 원리를 살펴봅시다! : "n+1개의 물건을 n개의 상자에 넣을 때 적어도 어느 한 상자에는 두개 이상의 물건이 들어 있다." 음? 증명할 필요없이 너무 자명해보입.. 더보기

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